АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ – метод мысленного отвлечения, лежащий в основе идеи т.н. потенциальной бесконечности.

Представление о неограниченном развитии какого-либо конструктивного процесса, являющееся конкретным воплощением этой идеи, требует совершения всевозрастающего количества конструктивных актов, и попытки реального их осуществления, даже в том случае, когда начальные шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно сталкиваются с препятствиями чисто материального характера: для совершения очередного акта недостает времени, места или материала. Абстракция потенциальной осуществимости представляет собой решение отвлекаться от всей совокупности осложнений указанного рода, считать их несущественными. Тем самым шаги, осуществимость которых носит лишь воображаемый характер, начинают мыслиться совместно и равноправно с реально выполнимыми. Так, мысленно рассматривая конструктивный процесс построения натурального ряда 0, 1, 2, ... (процесс принципиально незавершаемый), мы принимаем решение, что совместно и равноправно со всяким натуральным числом n  мы будем рассматривать и следующее за ним число n+1. Мысленно осуществляя вывод в рамках какой-либо дедуктивной теории, мы принимаем решение считать, что вслед за любым шагом этого вывода может быть совершен еще один. То же самое абстракция потенциальной осуществимости разрешает делать и в применении к любому конструктивному процессу: вообразив выполненным определенный этап этого процесса, мы соглашаемся мыслить процесс продвинутым (согласно правилам его развертывания) еще на один шаг.

В логическом аспекте принятие абстракции потенциальной осуществимости ведет к обоснованию метода полной (совершенной) индукции. Наряду с абстракцией отождествления абстракция потенциальной осуществимости является необходимой предпосылкой построения абстрактной теории конструктивных процессов и конструктивных объектов. Это определяет ее исключительную роль в методологии математики, в особенности в конструктивном направлении, в котором в качестве объектов рассмотрения допускаются лишь конструктивные объекты, а высказывания об их существовании понимаются как высказывания об их потенциальной осуществимости. Абстракция потенциальной осуществимости применяется и в рамках теоретико-множественной программы Г.Кантора, но в этом случае наряду с этой абстракцией употребляется гораздо более далеко идущая абстракция актуальной бесконечности. Кроме математики абстракция потенциальной осуществимости играет важную роль при анализе многих ситуаций, возникающих в логике и в других дедуктивных науках. Некоторые ее ослабления, учитывающие ограничения на длину процессов, сложность шагов и промежуточных данных и т.п., применяются в ряде смежных разделов теории алгоритмов и теоретической кибернетики.

Термин «абстракция потенциальной осуществимости» был впервые введен в употребление А.А.Марковым в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им в связи с разработкой основ конструктивного направления в математике. Отмечая, что абстракция потенциальной осуществимости, как и абстракция актуальной бесконечности, включает в себя известный элемент воображения, он тем не менее указывал на то, что в отношении отхода от действительности абстракции эти находятся на двух качественно различных уровнях.

Литература:

1. Марков А.А. Теория алгорифмов. – Тр. математического института им. В.А.Стеклова, т. 42. М.–Л., 1954;

2. Он же. О конструктивной математике. – Там же, т. 67. М.–Л., 1962;

3. Он же. О логике конструктивной математики. М., 1972;

4. Марков Α.Α., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. М., 1996);

5. Щанин Н.А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства. – Тр. математического института им. В.А.Стеклова, т. 67. М.–Л., 1962.